El autocontrol de hoy

Hola queridos alumnos,
Sobre todo descansad el fin de semana, salid al campo, haced ejercicio, comed bien, bebed mucha agua...y si os pica la curiosidad de si con más tiempo habríais podido hacer más ejercicios del autocontrol...aquí os lo dejo.

1.   Halla el área de la región del plano encerrada por la curva y= ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x =e       (2 puntos)

2.   Sean los puntos A(2, −2, 1), B(0, 1, −2), C(−2, 0, −4), D(2, −6, 2), se pide: Probar que el cuadrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) (1 punto)  y hallar: a) la distancia entre los dos lados paralelos. (1 punto) b) Hallar el  área del triángulo ABC. (1 punto)

3.   Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia al punto A(4, 0, 2) es el doble de su distancia a la recta

      x = 1     y+z=3. (2 puntos)

                                                                                             

4.   Sean los puntos P (8, 13, 8) y Q(−4, −11, −8).

Se considera el plano π, perpendicular al segmento PQ por su punto medio. 

a) (1 punto) Obtener la ecuación del plano π.

b) (1 punto) Calcular la proyección ortogonal del punto O(0,0,0) sobre π.

c) (1 punto) Hallar el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que el plano π corta a los ejes coordenados y en el origen de coordenadas.